当讨论函数极限时，特别是当x趋于无穷大时，有几个基本的极限法则和性质。下面我将简要概述这些法则和性质，并给出相应的证明或解释。
1. 极限的唯一性
极限存在意味着极限值是唯一的。
2. 局部有界性
如果函数f（x）当x趋于无穷大时的极限存在，则存在一个正数X，使得当x > X时，f（x）是有界的。
3. 极限的保号性
如果函数f（x）当x趋于无穷大时的极限大于0，则存在一个正数N，使得当x > N时，f（x）也大于0。
4. 极限的基本性质
当x趋于无穷大时，函数f（x）的极限等于0，如果f（x）是x的倒数，即f（x） = 1/x。
当x趋于无穷大时，函数f（x）的极限等于A，如果对于任意小的正数ε，存在一个正数X，使得当x > X时，|f（x） - A| < ε。
证明示例
证明：当x趋于无穷大时，1/x的极限是0
根据极限的定义，对于任意小的正数ε > 0，存在一个正数N，使得当x > N时，|1/x - 0| < ε。
这意味着当x > N时，1/x < ε。
因此，当x趋于无穷大时，1/x的极限是0。
证明：当x趋于无穷大时，sin（x）/x的极限是0
对于任意小的正数ε > 0，存在一个正数X = 1/ε，使得当|x| > X时，|sin（x）/x - 0| = |sin（x）/x| ≤ 1/x < ε。
因此，当x趋于无穷大时，sin（x）/x的极限是0。
这些证明基于极限的定义和性质，并利用了实数系统的连续性。需要注意的是，这些证明通常不需要复杂的数学工具，而是基于直观理解和极限的基本性质。
