定积分的乘除法则如下:
乘积的积分
如果被积函数可以表示为两个函数的乘积,即 \( f(x) = u(x) \cdot v(x) \),则可以使用乘积的积分公式:
\[
\int u(x) \cdot v(x) \, dx = u(x) \cdot \int v(x) \, dx - \int \left( \frac{d}{dx} u(x) \right) \cdot \int v(x) \, dx
\]
其中,第一个积分是 \( u(x) \) 对 \( x \) 的积分,第二个积分是 \( v(x) \) 对 \( x \) 的积分,中间项是 \( u(x) \) 的导数与 \( v(x) \) 的积分的乘积。
商的积分
对于商的积分,即 \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \),通常没有简单的原函数公式,需要采用其他方法如换元积分法或分部积分法来解决。例如,可以通过换元法,设 \( u(x) = h(x) \) 和 \( dv = \frac{1}{v(x)} \, dx \),然后进行积分。
总结:
定积分没有专门的乘除法则,但可以通过分步积分法、换元积分法和分部积分法来解决乘积和商的积分问题。
建议:
在处理具体问题时,可以根据被积函数的形式选择合适的方法。对于乘积形式,使用乘积的积分公式;对于商的形式,优先考虑换元积分法或分部积分法。