双曲线的几何性质包括以下几点：
双曲线的定义和形状
双曲线是二次曲线的一种，具有两个对称的分支，分布在中心对称的轴线上，轴线与曲线无交点。
双曲线的两个分支无限延伸，没有端点，两个分支之间的距离称为焦距，记作2c。
双曲线的半轴长记作a，决定了双曲线的形状。
对称性
双曲线关于x轴、y轴及原点对称。
渐近线
双曲线具有渐近线性质，两个分支无限接近于两条直线，渐近线的方程为y = ±（a/c）x。
顶点
双曲线有两个顶点，分别位于x轴上，坐标为A1（-a,0）和A2（a,0），两顶点间的线段为实轴，长为2a。
离心率
双曲线的离心率e为大于1的实数，其值决定了曲线的形状，离心率越大，曲线越扁平。
标准方程
双曲线的方程一般形式为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为实数，且满足B^2 - 4AC < 0，且A和C异号。
共轭双曲线
如果双曲线S的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，那么它的共轭双曲线S'的方程为y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1。共轭双曲线有共同的渐近线和相等的焦距。
等轴双曲线
当a=b时，双曲线的长轴和短轴相等，称为等轴双曲线。等轴双曲线的离心率为√2，渐近线方程为y = ±x。
这些性质是双曲线的基本特征，通过它们可以深入研究双曲线的几何行为和解决相关的数学问题。
