sin三角函数的导数是 cosx。具体推导过程如下：
利用导数的定义
\[
\frac{d}{dx} \sin（x） = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin（x + \Delta x） - \sin（x）}{\Delta x}
\]
应用三角函数的和差公式
\[
\sin（x + \Delta x） = \sin（x）\cos（\Delta x） + \cos（x）\sin（\Delta x）
\]
代入并化简
\[
\frac{d}{dx} \sin（x） = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin（x）\cos（\Delta x） + \cos（x）\sin（\Delta x） - \sin（x）}{\Delta x}
\]
\[
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin（x）\cos（\Delta x） - \sin（x）}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos（x）\sin（\Delta x）}{\Delta x}
\]
利用极限的性质
\[
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin（\Delta x）}{\Delta x} = 1
\]
进一步化简
\[
\frac{d}{dx} \sin（x） = \cos（x） \cdot 1 + \cos（x） \cdot 1 = \cos（x） + \cos（x） = 2\cos（x）
\]
但这里我们注意到，上述推导过程中存在错误，因为我们在处理第二项时没有正确应用极限的性质。正确的推导应该是：
正确的推导
\[
\frac{d}{dx} \sin（x） = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin（x + \Delta x） - \sin（x）}{\Delta x}
\]
\[
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin（x）\cos（\Delta x） + \cos（x）\sin（\Delta x） - \sin（x）}{\Delta x}
\]
\[
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin（x）（\cos（\Delta x） - 1）}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos（x）\sin（\Delta x）}{\Delta x}
\]
\[
= \sin（x） \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos（\Delta x） - 1}{\Delta x} + \cos（x） \cdot 1
\]
\[
= \sin（x） \cdot 0 + \cos（x） = \cos（x）
\]
因此，sin（x）的导数是cos（x）。同样地，cos（x）的导数是-sin（x）。这是三角函数导数的基本公式之一，在微积分和数学分析中有着广泛的应用。
