复数的模的性质可以从定义和几何意义两个方面进行推导。
定义推导
复数模的定义
复数 $z = a + bi$ 的模定义为 $z$ 到原点的距离，记作 $|z|$。
根据勾股定理，这个距离可以表示为 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。
几何意义推导
复数模的几何意义
在复平面上，复数 $z = a + bi$ 对应的点是 $（a, b）$。
该点到原点的距离 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，这恰好是点 $（a, b）$ 到原点 $（0, 0）$ 的欧几里得距离。
运算性质推导
复数乘积的模
设 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$ 是两个复数。
它们的乘积为 $z_1 \times z_2 = （a + bi） \times （c + di） = （ac - bd） + （ad + bc）i$。
根据复数模的定义，乘积的模为：
$$
|z_1 \times z_2| = \sqrt{（ac - bd）^2 + （ad + bc）^2}
$$
进一步化简，利用平方和公式：
$$
|z_1 \times z_2| = \sqrt{（a^2 + b^2）（c^2 + d^2）} = |z_1| \times |z_2|
$$
因此，复数乘积的模等于它们模的乘积。
复数商的模
设 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$ 是两个复数，且 $z_2 \neq 0$。
它们的商为 $\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di}$。
根据复数除法的定义，商可以表示为：
$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{（a + bi）（c - di）}{（c + di）（c - di）} = \frac{（ac + bd） + （bc - ad）i}{c^2 + d^2}
$$
商的模为：
$$
\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \sqrt{\left（ \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} \right）^2 + \left（ \frac{bc - ad}{c^2 + d^2} \right）^2} = \frac{|z_1|}{|z_2|}
$$
因此，复数商的模等于它们模的商。
其他性质
复数加减法的模
设 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$ 是两个复数。
它们的和为 $z_1 + z_2 = （a + c） + （b + d）i$，差为 $z_1 - z_2 = （a - c） + （b - d）i$。
根据复数模的三角不等式，有：
$$
|z_1 - z_2| \leq |z_1| + |z_2|
$$
$$
|z_1 + z_2| \geq ||z_1| - |z_2||
$$
这些性质可以通过几何意义直观理解，因为它们反映了复平面上两点间距离的关系。
综上所述，复数的模具有以下性质：
1. 复数乘积的模等于它们模的乘积。
2. 复数商的模等于它们模的商。
3. 复数加减法的模满足三角不等式。
这些性质在复数运算和复平面几何中有重要应用。
