正弦函数的导数是余弦函数，即：
\[
\frac{d}{dx} \sin（x） = \cos（x）
\]
这个结论可以通过多种方法推导得到，以下是其中几种常见的推导方法：
方法一：使用导数的定义
根据导数的定义，我们有：
\[
f'（x） = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f（x + \Delta x） - f（x）}{\Delta x}
\]
对于正弦函数 \（ f（x） = \sin（x） \），我们计算其导数：
\[
f'（x） = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin（x + \Delta x） - \sin（x）}{\Delta x}
\]
利用三角函数的和差化积公式，可以将上式化简为：
\[
f'（x） = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\cos\left（\frac{2x + \Delta x}{2}\right）\sin\left（\frac{\Delta x}{2}\right）}{\Delta x}
\]
进一步化简得到：
\[
f'（x） = \lim_{\Delta x \to 0} \cos\left（\frac{2x + \Delta x}{2}\right） \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\left（\frac{\Delta x}{2}\right）}{\frac{\Delta x}{2}}
\]
由于 \（ \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin（\theta）}{\theta} = 1 \），所以：
\[
f'（x） = \cos（x） \cdot 1 = \cos（x）
\]
方法二：使用几何特性
考虑一个单位圆，其半径为1，对应角度为 \（ x \） 的点为 \（ （\cos（x）, \sin（x）） \）。对该点求导，即求该点切线的斜率。
根据几何知识，切线的斜率等于该点的导数值，即：
\[
\frac{d}{dx} \sin（x） = \cos（x）
\]
方法三：使用链式法则
如果 \（ y = \sin（u） \） 且 \（ u = x \），则根据链式法则：
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
\]
其中 \（ \frac{dy}{du} = \cos（u） \） 且 \（ \frac{du}{dx} = 1 \），所以：
\[
\frac{dy}{dx} = \cos（x） \cdot 1 = \cos（x）
\]
总结
无论采用哪种方法，正弦函数的导数都是余弦函数 \（ \cos（x） \）。这个结论在高等数学中有着广泛的应用，是三角函数求导的基础之一。
