数量积（点积）的公式如下：
一般形式
对于两个向量 \（\mathbf{a} = （x_1, y_1）\） 和 \（\mathbf{b} = （x_2, y_2）\），它们的数量积（点积）为：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2
\]
几何解释
数量积也可以表示为两个向量模长的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta
\]
其中，\（|\mathbf{a}|\） 和 \（|\mathbf{b}|\） 分别是向量 \（\mathbf{a}\） 和 \（\mathbf{b}\） 的模长，\（\theta\） 是它们之间的夹角。
特殊情况
当两个向量垂直时，它们的数量积为零，即：
\[
\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
\]
当两个向量同向时，它们的数量积等于它们模长的乘积：
\[
\mathbf{a} \parallel \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}|
\]
总结
数量积公式在向量运算中非常重要，它不仅可以用于计算两个向量的乘积，还可以用来判断向量的关系（如垂直、平行）以及通过已知的模长和数量积求出向量之间的夹角。希望这些信息对你有所帮助。
