置信区间是用于估计一个参数（如总体均值）的取值范围。计算置信区间的方法主要取决于样本的大小、样本的分布以及所选的置信水平。以下是几种常见的置信区间计算方法及其例题：
1. 基于样本均值和标准差的方法（适用于大样本）
当样本容量较大时（通常n≥30），样本均值的分布近似服从正态分布。此时，可以使用以下公式计算置信区间：
\[ \text{CI} = \bar{x} \pm z \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中：
\（\bar{x}\） 是样本均值
\（z\） 是置信水平对应的Z值（例如，95%置信水平时，z ≈ 1.96）
\（\sigma\） 是总体标准差
\（n\） 是样本容量
例题：
已知某地区成年男子的身高数据，抽取100人测量，得到样本平均值为175cm，标准差5cm，假设置信度为95%，求该地区成年男子身高均值的95%置信区间。
\[ \text{CI} = 175 \pm 1.96 \frac{5}{\sqrt{100}} \]
\[ \text{CI} = 175 \pm 1.96 \times 0.5 \]
\[ \text{CI} = [175 - 0.98, 175 + 0.98] \]
\[ \text{CI} = [174.02, 175.98] \]
2. 基于t分布的方法（适用于小样本或方差未知的情况）
当样本容量较小（n < 30）或总体方差未知时，样本均值的分布服从t分布。此时，可以使用以下公式计算置信区间：
\[ \text{CI} = \bar{x} \pm t_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} \]
其中：
\（\bar{x}\） 是样本均值
\（t_{\alpha/2}\） 是自由度为n-1时，t分布中右侧面积为α/2时的t值
\（s\） 是样本标准差
\（n\） 是样本容量
例题：
已知某种灯泡的使用寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16个，测得其使用寿命如下表：
| 样本 | 使用寿命（小时） |
|------|------------------|
| 1| 1400 |
| 2| 1500 |
| ... | ... |
| 16 | 1450 |
计算该批灯泡使用寿命的95%置信区间。
首先计算样本均值 \（\bar{x}\） 和样本标准差 \（s\），然后查找t分布表，找到自由度为15时，95%置信水平对应的t值（约为2.1314）。
\[ \text{CI} = \bar{x} \pm 2.1314 \frac{s}{\sqrt{16}} \]
\[ \text{CI} = 1490 \pm 2.1314 \times \frac{5}{4} \]
\[ \text{CI} = 1490 \pm 2.66425 \]
\[ \text{CI} = [1487.33575, 1492.66425] \]
3. 基于蒙特卡洛模拟的方法
蒙特卡洛模拟是一种计算机模拟方法，通过生成大量的随机样本，计算出样本统计量的分布，从而估计总体参数的置信区间。这种方法适用于样本量非常大或需要更高精度的情况。
4. 使用统计软件
许多统计软件（如Excel、PASS等）提供了计算置信区间的功能。用户只需输入样本数据、置信水平和样本标准差等参数，软件即可自动计算出置信区间。
例题：
某校欲随机抽取部分男生，检测其体重，以评估其生长发育情况，希望估计误差不超过0.3kg，样本标准差为2kg，需要多少样本量？
使用PASS软件，依次选择Means——Confidence Intervals for One Mean，设置参数：
Confidence Level（1-Alpha）: 0.95
Distance from Mean to Limit（s）: 0.3
Sample Standard Deviation（σ）: 2
Population Size: Infinite
Solve For: Sample Size
计算得到所需样本量约为
