双曲线的几何性质包括以下几个方面：
范围
双曲线上的点满足不等式 \（ |x| \geq a \） 或 \（ |y| \geq a \），其中 \（ a > 0 \）。这意味着双曲线在x轴的两侧以及y轴的两侧都有定义。
对称性
双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的。这意味着如果一个点 \（ （x, y） \） 在双曲线上，那么点 \（ （-x, y） \）、\（ （x, -y） \） 和 \（ （-x, -y） \） 也都在双曲线上。
顶点
双曲线与对称轴的交点称为顶点。对于焦点在x轴上的双曲线，顶点为 \（ A_1（-a, 0） \） 和 \（ A_2（a, 0） \）；对于焦点在y轴上的双曲线，顶点为 \（ B_1（0, -a） \） 和 \（ B_2（0, a） \）。顶点间的线段称为实轴，长度为 \（ 2a \），虚轴长度为 \（ 2b \），且有关系式 \（ c^2 = a^2 + b^2 \），其中 \（ c \） 是焦点到中心的距离。
渐近线
双曲线的渐近线方程为 \（ y = \pm \frac{b}{a}x \） 或 \（ y = \pm \frac{a}{b}x \），具体取决于焦点的位置。渐近线是双曲线在无限远处接近但永不相交的直线，它们可以帮助我们绘制双曲线的草图。
离心率
双曲线的离心率 \（ e \） 定义为 \（ e = \frac{c}{a} \），其中 \（ c = \sqrt{a^2 + b^2} \）。离心率 \（ e \） 的范围是 \（ e > 1 \），且离心率越大，双曲线的开口越宽。
等轴双曲线
当实轴和虚轴长度相等时，即 \（ a = b \），双曲线称为等轴双曲线。此时，渐近线方程为 \（ y = \pm x \），离心率 \（ e = \sqrt{2} \）。
共轭双曲线
如果两个双曲线的方程分别为 \（ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \） 和 \（ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \） 或 \（ \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \） 和 \（ \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 \），则它们是共轭双曲线。共轭双曲线有共同的渐近线和相等的焦距，但方程的形式不同。
这些性质可以帮助我们更好地理解和分析双曲线的形状和特性。通过这些性质，我们可以绘制双曲线的草图、确定其渐近线、计算离心率以及了解双曲线的对称性和顶点位置。
