正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具，它们分别描述了三角形中边与角以及边与边之间的关系。
正弦定理
正弦定理表述为：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]
其中，\（a\）、\（b\）、\（c\） 分别是三角形的三边，\（A\）、\（B\）、\（C\） 是这三边所对的角，\（R\） 是三角形的外接圆半径。
正弦定理的推论包括：
1. 三角形的任意一边等于其外接圆半径乘以该边所对角的正弦值，即：
\[
a = 2R \sin A, \quad b = 2R \sin B, \quad c = 2R \sin C
\]
2. 三角形任意两边之比等于其对应角的正弦之比，即：
\[
\frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\sin B}, \quad \frac{a}{c} = \frac{\sin A}{\sin C}, \quad \frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C}
\]
3. 三角形任意两边之和与其中一边所对角的正弦值之比等于外接圆半径的两倍，即：
\[
\frac{a+b}{\sin A + \sin B} = \frac{a+c}{\sin A + \sin C} = \frac{b+c}{\sin B + \sin C} = 2R
\]
余弦定理
余弦定理表述为：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即：
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A, \quad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
\]
其中，\（a\）、\（b\）、\（c\） 分别是三角形的三边，\（A\）、\（B\）、\（C\） 是这三边所对的角。
余弦定理的推论包括：
1. 利用余弦定理可以判断三角形的形状：如果一个三角形的一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，则这个三角形是直角三角形。
2. 余弦定理的另一种常见变式：
\[
a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C, \quad b^2 + c^2 - a^2 = 2bc \cos A, \quad c^2 + a^2 - b^2 = 2ac \cos B
\]
总结
正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的基本工具，它们可以帮助我们在已知三角形的一部分信息（如边长和角度）时，求解其他部分的信息（如角度和边长）。通过这两个定理及其推论，我们可以方便地进行三角形的边长和角度的计算，以及解决与三角形有关的几何问题。
