极坐标下的二重积分推导如下：
极坐标与直角坐标的转换关系
设点 $M（x, y）$ 在平面直角坐标系中的坐标为 $（x, y）$，点 $M$ 到原点 $O$ 的距离为 $\rho$，$OM$ 与极轴 $Ox$ 的夹角为 $\theta$。则有：
$$
\begin{cases}
x = \rho \cos \theta \\
y = \rho \sin \theta
\end{cases}
$$
面积元素的转换
在直角坐标系中，面积元素 $d\sigma = dx \, dy$。
在极坐标系中，面积元素 $d\sigma = \rho \, d\rho \, d\theta$。
被积函数的转换
设原函数为 $f（x, y）$，在极坐标系中，其形式为 $f（\rho \cos \theta, \rho \sin \theta）$。
二重积分的转换
原二重积分 $\iint_{\Omega} f（x, y） \, dx \, dy$ 在极坐标系中变为 $\iint_{\Omega'} f（\rho \cos \theta, \rho \sin \theta） \rho \, d\rho \, d\theta$，其中 $\Omega'$ 是积分区域在极坐标系下的表示。
具体推导
假设积分区域 $\Omega$ 由 $y = x$，$y = 2 - x$，$y = 0$ 三条直线围成，即 $0 \leq x \leq 2$，$0 \leq y \leq 2 - x$。
交换积分顺序，先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分，则 $\Omega'$ 可表示为 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq \rho \leq 2 \sec \theta$。
因此，二重积分变为：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2 \sec \theta} f（\rho \cos \theta, \rho \sin \theta） \rho \, d\rho \, d\theta
$$
注意事项
在极坐标系下计算二重积分时，需将被积函数、积分区域以及面积元素都用极坐标表示。
若积分区域与圆有关，使用直角坐标系来计算并不方便，可以转换为极坐标方程来处理。
通过以上步骤，可以将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分，从而简化计算过程。
