抛物线的四种标准方程及其对应的参数方程如下：
抛物线方程 $y^2 = 2px$ （开口向右）参数方程
$$
\begin{cases}
x = 2pt^2 \\
y = 2pt
\end{cases}
$$
几何意义：参数 $t$ 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。焦点 $F$ 的坐标为 $\left（\frac{p}{2}, 0\right）$，准线方程为 $x = -\frac{p}{2}$，参数 $p$ 是焦点到准线的距离。
抛物线方程 $y^2 = -2px$ （开口向左）参数方程
$$
\begin{cases}
x = -2pt^2 \\
y = 2pt
\end{cases}
$$
几何意义：与开口向右的抛物线类似，参数 $t$ 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。焦点 $F$ 的坐标为 $\left（-\frac{p}{2}, 0\right）$，准线方程为 $x = \frac{p}{2}$。
抛物线方程 $x^2 = 2py$ （开口向上）参数方程
$$
\begin{cases}
x = 2pt^2 \\
y = 2pt
\end{cases}
$$
几何意义：参数 $t$ 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率。焦点 $F$ 的坐标为 $（0, \frac{p}{2}）$，准线方程为 $y = -\frac{p}{2}$，参数 $p$ 是焦点到准线的距离。
抛物线方程 $x^2 = -2py$ （开口向下）参数方程
$$
\begin{cases}
x = 2pt^2 \\
y = -2pt
\end{cases}
$$
几何意义：与开口向上的抛物线类似，参数 $t$ 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率。焦点 $F$ 的坐标为 $（0, -\frac{p}{2}）$，准线方程为 $y = \frac{p}{2}$。
这些参数方程通过引入参数 $t$，将抛物线的方程从普通方程转化为参数方程，便于描述和分析抛物线上的点和轨迹。
