正切函数的图像和性质如下：
图像
正切函数的图像是通过单位圆来定义的。具体来说，正切函数是正弦函数值与余弦函数值的比值，即 $\tan（\theta） = \frac{\sin（\theta）}{\cos（\theta）}$。在单位圆中，当角度为 $\theta$ 时，正切值等于终边与x轴交点的纵坐标除以横坐标。
正切函数的图像关于原点对称，因为 $\tan（-\theta） = -\tan（\theta）$。
正切函数的周期为 $\pi$，即 $\tan（\theta + \pi） = \tan（\theta）$。
性质
周期性：正切函数的最小正周期是 $\pi$，即每隔 $\pi$ 弧度，函数的值会重复。
奇偶性：正切函数是奇函数，满足 $\tan（-x） = -\tan（x）$，其图像关于原点对称。
对称性：正切函数的图像关于点 $\left（\frac{k\pi}{2}, 0\right）$ 对称，其中 $k \in \mathbb{Z}$。
单调性：正切函数在每个开区间 $\left（k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2}\right）$ 上是单调递增的，其中 $k \in \mathbb{Z}$。
定义域：正切函数的定义域是 $\{ x \mid x \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \}$，因为在这些点上，余弦函数的值为零，导致正切函数无定义。
值域：正切函数的值域是全体实数 $\mathbb{R}$，因为对于任意实数 $y$，总存在一个角度 $\theta$ 使得 $\tan（\theta） = y$。
最值：正切函数没有最大值和最小值，其值域为 $\mathbb{R}$。
通过以上信息，可以更全面地了解正切函数的图像和性质，并在实际应用中利用这些性质来解决问题。
