求sin（x）的导数，我们可以使用导数的定义和三角函数的性质来进行推导。以下是详细步骤：
使用导数的定义
根据导数的定义，函数f（x）在x点的导数f'（x）是当x趋近于x0时，函数增量比自变量增量的极限，即：
\[
f'（x） = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{f（x + \Delta x） - f（x）}{\Delta x}
\]
对于sin（x），设f（x） = sin（x），则：
\[
f'（x） = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{\sin（x + \Delta x） - \sin（x）}{\Delta x}
\]
利用三角函数的和差化积公式
我们知道：
\[
\sin（x + \Delta x） = \sin x \cos \Delta x + \cos x \sin \Delta x
\]
将其代入导数定义中：
\[
f'（x） = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{\sin x \cos \Delta x + \cos x \sin \Delta x - \sin x}{\Delta x}
\]
提取公因子sin（x）：
\[
f'（x） = \lim_{{\Delta x \to 0}} \left（ \cos x + \frac{\cos x \sin \Delta x - \sin x \cos \Delta x}{\Delta x} \right）
\]
利用三角函数的极限性质
当Δx趋近于0时，利用sin（Δx）/Δx趋近于1的性质：
\[
\lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} = 1
\]
因此：
\[
f'（x） = \cos x + \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{\cos x \sin \Delta x - \sin x \cos \Delta x}{\Delta x}
\]
注意到：
\[
\cos x \sin \Delta x - \sin x \cos \Delta x = \sin（\Delta x - x）
\]
所以：
\[
f'（x） = \cos x + \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{\sin（\Delta x - x）}{\Delta x}
\]
由于sin（Δx - x）在Δx趋近于0时趋近于0，因此：
\[
f'（x） = \cos x
\]
综上所述，sin（x）的导数是cos（x）。
建议
在实际应用中，可以直接使用已知的导数公式，如sin（x）' = cos（x），而不必从头开始推导。
推导过程涉及极限和三角函数的性质，需要一定的数学基础和对导数定义的深刻理解。
