三角函数换元法求积分的公式主要包括以下几种：
基本换元公式
对于 $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$，通常使用换元 $x = a \sin t$，其中 $t \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$，从而 $dx = a \cos t \, dt$。
对于 $\int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx$，通常使用换元 $x = a \sec t$，其中 $t \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$，从而 $dx = a \sec t \tan t \, dt$。
万能代换公式
$t = \tan \frac{x}{2}$，则 $dx = \frac{2}{1 + t^2} \, dt$，$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$，$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$。
三角恒等式换元
利用三角恒等式如 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$，$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$，$\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ 等进行换元。
有理函数换元
如果积分式为有理函数，如 $\int R（\cos x, \sin x） \, dx$，则可以根据分子分母构造出 $（x^2 \pm y^2）^a$ 的式子，然后通过构造三角形得出 $x$ 与 $t$ 的关系，将多项式积分转换为三角函数积分。
建议
在选择换元方法时，应根据具体的积分式和所给条件（如积分区间、被积函数的性质等）进行选择，以便更好地化简和求解积分。
熟练掌握三角恒等式和换元技巧，能够快速准确地解决三角函数积分问题。
